Le produit en croix est une méthode permettant de résoudre des égalités de fractions et des problèmes de proportionnalité.
1. Principe du produit en croiX
Si deux fractions sont égales, alors le produit en croix de leurs termes est aussi égal.
Propriété fondamentale
Si \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), alors :
\(a \times d = b \times c\)
C’est ce qu’on appelle le produit en croix.
Exemple :
\(\frac{2}{5} = \frac{6}{15}\)
On applique le produit en croix :
\(2 \times 15 = 5 \times 6\)
\(30 = 30\) L’égalité est bien vraie.
2. Utiliser le produit en croix en proportionnalité
Le produit en croix est utilisé dans les problèmes de proportionnalité, notamment pour les règles de trois.
Exemple : Un sac de 3 kg de pommes coûte 6 €. Combien coûte un sac de 5 kg ?
- On pose la proportion :
\(\frac{3}{6} = \frac{5}{x}\) - On applique le produit en croix :
\(3 \times x = 6 \times 5\)
\(3x = 30\) - On isole \(x\) :
\(x = \frac{30}{3} = 10\)
Résultat : Un sac de 5 kg coûte 10 €
3. Utiliser le produit en croix pour résoudre une équation
Si une fraction est égale à une autre avec un nombre inconnu, on peut utiliser le produit en croix pour trouver cette valeur.
Méthode
Si \(\frac{a}{b} = \frac{x}{d}\), alors :
\(a \times d = b \times x\)
On peut isoler \(x\) en divisant par \(b\) :
\(x = \frac{a \times d}{b}\)
Exemple 1 : Trouver x dans \(\frac{4}{7} = \frac{x}{21}\)
- Appliquons le produit en croix :
\(4 \times 21 = 7 \times x\)
\(84 = 7x\) - On isole \(x\) en divisant par 7 :
\(x = \frac{84}{7} = 12\)
Résultat : \(x = 12\)
Exemple 2 : Résoudre \(\frac{5}{x} = \frac{15}{18}\)
- Appliquons le produit en croix :
\(5 \times 18 = x \times 15\)
\(90 = 15x\) - On isole \(x\) en divisant par 15 :
\(x = \frac{90}{15} = 6\)
Résultat : \(x = 6\)
Conclusion
- Le produit en croix repose sur l’égalité des produits :
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \times d = b \times c\) - Il est utile pour vérifier une égalité de fractions, résoudre une équation avec une fraction inconnue et travailler en proportionnalité.