1. Définition d’un vecteur et de ses coordonnées
Un vecteur est un objet mathématique représenté par une flèche orientée qui possède :
- une direction,
- un sens,
- une norme (ou longueur).
Les coordonnées d’un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) dans un repère sont définies par la différence des coordonnées des points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\) :
\(\overrightarrow{AB} = (x_B – x_A, y_B – y_A)\)
Dans l’espace, si les points sont \(A(x_A, y_A, z_A)\) et \(B(x_B, y_B, z_B)\), alors :
\(\overrightarrow{AB} = (x_B – x_A, y_B – y_A, z_B – z_A)\)
2. Opérations sur les vecteurs
Addition et soustraction
Si \(\overrightarrow{u}(x_1, y_1)\) et \(\overrightarrow{v}(x_2, y_2)\) sont deux vecteurs, alors :
\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\)
\(\overrightarrow{u} – \overrightarrow{v} = (x_1 – x_2, y_1 – y_2)\)
Multiplication par un scalaire
Si \(k\) est un nombre réel et \(\overrightarrow{u}(x, y)\) un vecteur, alors :
\(k \times \overrightarrow{u} = (k \times x, k \times y)\)
Dans l’espace, ces propriétés s’étendent à trois coordonnées.
3. Norme et direction d’un vecteur
Norme d’un vecteur
La norme d’un vecteur \(\overrightarrow{u}(x, y)\) est définie par :
\(|\overrightarrow{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
Dans l’espace, pour \(\overrightarrow{u}(x, y, z)\) :
\(|\overrightarrow{u}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
Direction d’un vecteur
L’angle \(\theta\) entre un vecteur et l’axe des abscisses peut se calculer avec :
\(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\)
4. Applications des coordonnées des vecteurs
Les coordonnées des vecteurs sont utilisées pour :
- Déterminer si deux vecteurs sont colinéaires : \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires si \(\exists k \in \mathbb{R}\) tel que \(\overrightarrow{v} = k \times \overrightarrow{u}\).
- Calculer un produit scalaire : \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1 \times x_2 + y_1 \times y_2\).
- Vérifier l’orthogonalité : deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
- Déterminer une équation de droite à partir d’un vecteur directeur.
Conclusion
Les coordonnées d’un vecteur permettent d’effectuer des calculs précis en géométrie analytique. Elles facilitent la résolution de problèmes de colinéarité, d’orthogonalité et d’orientation dans un repère.
Technique appliquée
Exemple : Soient les points \(A(1,2)\) et \(B(4,5)\), déterminons le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et sa norme.
\(\overrightarrow{AB} = (4 – 1, 5 – 2) = (3,3)\)
Norme de \(\overrightarrow{AB}\) :
\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
Ainsi, \(\overrightarrow{AB} = (3,3)\) et sa norme est \(3\sqrt{2}\).