Comment utiliser le théorème de Pythagore ?

1-Problématique

Lorsqu’on travaille avec des triangles rectangles, il est souvent utile de déterminer la longueur d’un côté inconnu. Le théorème de Pythagore permet de résoudre ce type de problème de manière rapide et efficace.

2-Rappel du théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore s’applique exclusivement aux triangles rectangles. Il énonce que :

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Mathématiquement, si un triangle ABC est rectangle en A, alors :

\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)

où :

  • \(BC\) est l’hypoténuse (le plus grand côté, opposé à l’angle droit),
  • \(AB\) et \(AC\) sont les deux autres côtés du triangle.

3-Quand et comment l’utiliser ?

Cas d’utilisation

On utilise le théorème de Pythagore lorsque :

  • On connaît la longueur de deux côtés d’un triangle rectangle et on cherche la troisième.
  • On veut vérifier si un triangle est rectangle en testant la relation de Pythagore.

Méthode d’application

  1. Identifier l’hypoténuse (le plus grand côté, opposé à l’angle droit).
  2. Vérifier que le triangle est rectangle.
  3. Appliquer la formule \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
  4. Résoudre l’équation pour trouver la longueur recherchée.
  5. Vérifier l’exactitude du résultat (unités, approximation, logique du problème).

Conclusion

Le théorème de Pythagore est un outil fondamental en géométrie qui permet de calculer la longueur d’un côté inconnu dans un triangle rectangle. Son application nécessite simplement de bien identifier les côtés et de résoudre une équation simple. Si cependant on souhaite prouver qu’un triangle est rectangle, il faut utiliser la réciproque de ce théorème.

Technique appliquée :

Exemple : On considère un triangle ABC rectangle en A, avec \(AB = 3\) cm et \(AC = 4\) cm. Trouvons la longueur de l’hypoténuse \(BC\).

  1. On identifie l’hypoténuse : c’est \(BC\) car c’est le plus grand côté.
  2. On applique le théorème de Pythagore :\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)\(BC^2 = 3^2 + 4^2\)\(BC^2 = 9 + 16\)\(BC^2 = 25\)
  3. On extrait la racine carrée :\(BC = \sqrt{25} = 5\)

Conclusion : L’hypoténuse \(BC\) mesure 5 cm.