1. Problématique
L’intégration est l’opération inverse de la dérivation. Mais comment intégrer une fonction simple et interpréter le résultat obtenu ?
2. Définition de l’intégrale
L’intégrale d’une fonction permet de calculer l’aire sous sa courbe. Mathématiquement, si \(F\) est une primitive de \(f\), alors l’intégrale indéfinie de \(f\) s’écrit :
\(\int f(x) ,dx = F(x) + C\)
où \(C\) est une constante arbitraire.
Dans le cas d’une intégrale définie entre \(a\) et \(b\) :
\(\int_a^b f(x) ,dx = F(b) – F(a)\)
Cela correspond à l’aire entre la courbe et l’axe des abscisses sur l’intervalle \([a, b]\).
3. Techniques d’intégration
Intégration des puissances de \(x\)
Si \(f(x) = x^n\) avec \(n \neq -1\), alors :
\(\int x^n ,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
Intégration des fonctions usuelles
- \(\int e^x ,dx = e^x + C\)
- \(\int \cos x ,dx = \sin x + C\)
- \(\int \sin x ,dx = -\cos x + C\)
- \(\int \frac{1}{x} ,dx = \ln |x| + C\)
Intégration par linéarité
Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions intégrables et \(a, b\) deux constantes :
\(\int (a f(x) + b g(x)) ,dx = a \int f(x) ,dx + b \int g(x) ,dx\)
Conclusion
L’intégration est un outil fondamental en mathématiques, permettant de déterminer des aires, des volumes ou encore de résoudre des équations différentielles. Elle repose sur la recherche de primitives et peut être facilitée par diverses techniques selon la forme de la fonction à intégrer.
Technique appliquée
Exemple : Calculons l’intégrale suivante :
\(\int (3x^2 – 2x + 5) ,dx\)
- On applique la linéarité de l’intégrale :\(\int (3x^2 – 2x + 5) ,dx = 3 \int x^2 ,dx – 2 \int x ,dx + 5 \int 1 ,dx\)
- On utilise les formules usuelles :\(\int x^2 ,dx = \frac{x^3}{3}\)\(\int x ,dx = \frac{x^2}{2}\)\(\int 1 ,dx = x\)
- En remplaçant, on obtient :\(3 \times \frac{x^3}{3} – 2 \times \frac{x^2}{2} + 5x + C\)\(= x^3 – x^2 + 5x + C\)
L’intégrale cherchée est donc :
\(\int (3x^2 – 2x + 5) ,dx = x^3 – x^2 + 5x + C\)