1. Définition de la continuité
Une fonction \(f\) est dite continue en un point \(a\) si la limite de \(f(x)\) en \(a\) existe et est égale à \(f(a)\). Cela s’exprime mathématiquement par :
Si cette propriété est vérifiée pour tout \(x\) d’un intervalle \(I\), alors \(f\) est continue sur \(I\).
2. Continuité et limites
L’étude de la continuité repose sur la notion de limite. Voici les étapes essentielles :
- Calculer la limite à gauche et à droite :
- \(\lim\limits_{x \to a^-} f(x)\) : limite à gauche.
- \(\lim\limits_{x \to a^+} f(x)\) : limite à droite.
- Comparer avec \(f(a)\) : Si \(\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a)\), alors la fonction est continue en \(a\).
- Cas de discontinuités : Si une des égalités précédentes n’est pas satisfaite, il y a une discontinuité.
3. Types de discontinuités
Une fonction peut être discontinue en un point \(a\) de différentes manières :
- Discontinuité de saut : \(\lim\limits_{x \to a^-} f(x) \neq \lim\limits_{x \to a^+} f(x)\).
- Discontinuité essentielle : Au moins une des limites \(\lim\limits_{x \to a^-} f(x)\) ou \(\lim\limits_{x \to a^+} f(x)\) n’existe pas.
- Discontinuité par trou : Les limites à gauche et à droite sont égales mais différentes de \(f(a)\).
4. Continuité des fonctions usuelles
Certaines fonctions sont continues sur leur ensemble de définition :
- Les polynômes sont continus partout.
- Les fractions rationnelles sont continues sauf aux points où le dénominateur est nul.
- Les fonctions trigonométriques sont continues sur leur domaine.
- Les exponentielles et logarithmes ont des continuités dépendant de leur domaine.
5. Propriétés de la continuité
Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions continues en \(a\), alors :
- \(f + g\), \(f – g\), \(f \times g\) sont continues en \(a\).
- \(\frac{f}{g}\) est continue en \(a\) si \(g(a) \neq 0\).
- Une composition de fonctions continues est continue.
Conclusion
L’étude de la continuité d’une fonction repose sur l’analyse des limites. Une fonction est continue si ses limites à gauche et à droite sont égales à sa valeur en ce point. Les fonctions usuelles sont souvent continues sur leur domaine.
Technique appliquée
Exemple : Étudier la continuité de la fonction \(f(x) = \frac{x^2 – 4}{x – 2}\) en \(x = 2\).
- Calculons la limite à gauche et à droite : On simplifie par \(x – 2\) :
- Calcul de \(f(2)\) : La fonction n’est pas définie en \(x = 2\), donc elle n’est pas continue.
- Conclusion : Il y a une discontinuité en \(x = 2\) de type trou.