1. Problématique
Dans de nombreuses situations du quotidien, il est utile de calculer une moyenne pour résumer un ensemble de valeurs numériques. Mais comment détermine-t-on cette moyenne arithmétique, et à quoi sert-elle concrètement ?
2. Définition de la moyenne arithmétique
La moyenne arithmétique d’un ensemble de nombres est une valeur unique qui représente le centre de ces données.
Formule :
Si on a \(n\) valeurs notées \(x_1, x_2, …, x_n\), la moyenne arithmétique \(\bar{x}\) est définie par :
\(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + … + x_n}{n}\)
Cela signifie que la moyenne est obtenue en additionnant toutes les valeurs, puis en divisant le résultat par le nombre total de valeurs.
3. Applications et interprétation
Utilité de la moyenne
La moyenne arithmétique est utilisée pour :
- Résumer une série de mesures en une seule valeur représentative.
- Comparer des performances ou des résultats.
- Analyser des données statistiques (notes d’élèves, temps de course, revenus, etc.).
Cas particuliers
- Si toutes les valeurs sont égales, la moyenne est simplement cette valeur.
- Si une valeur extrême est très grande ou très petite par rapport aux autres, elle peut influencer fortement la moyenne.
- Une moyenne seule ne donne pas d’indication sur la dispersion des valeurs autour de celle-ci.
Conclusion
La moyenne arithmétique est un outil essentiel en mathématiques et en statistiques. Elle permet de déterminer une valeur centrale représentative d’un ensemble de données numériques. Toutefois, elle doit être interprétée avec prudence, notamment en présence de valeurs extrêmes.
Technique appliquée
Exemple : Calculons la moyenne des notes suivantes obtenues par un élève : 12, 15, 9, 18 et 14.
- Addition des valeurs :\(12 + 15 + 9 + 18 + 14 = 68\)
- Division par le nombre de valeurs :\(\bar{x} = \frac{68}{5} = 13.6\)
La moyenne des notes de l’élève est donc 13,6.