1. Définition d’une limite
En analyse mathématique, la limite d’une fonction permet de déterminer le comportement de cette fonction lorsque la variable indépendante \(x\) tend vers une valeur donnée (un nombre réel ou l’infini).
On note :
- \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = L\) pour exprimer que lorsque \(x\) tend vers \(a\), \(f(x)\) se rapproche de \(L\).
- \(\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = L\) pour exprimer que lorsque \(x\) tend vers l’infini, \(f(x)\) se rapproche de \(L\).
2. Techniques de calcul des limites
Limites aux points finis
- Substitution directe :
- Si \(f(a)\) est défini, alors \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)\).
- Cas des formes indéterminées :
- Si la substitution donne une forme du type \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\), il faut simplifier l’expression (factorisation, multiplication par le conjugué, décomposition en éléments simples, etc.).
Limites à l’infini
- Fonctions polynomiales :
- La limite à l’infini est dominée par le terme de plus haut degré.
- Exemple : \(\lim\limits_{x \to \infty} (3x^2 + 2x + 1) = \infty\).
- Fonctions rationnelles :
- Si le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, la limite est \(0\).
- Si les degrés sont égaux, la limite est le quotient des coefficients dominants.
- Si le degré du numérateur est supérieur, la limite est infinie.
- Fonctions exponentielles et logarithmiques :
- \(\lim\limits_{x \to \infty} e^x = \infty\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0\).
- \(\lim\limits_{x \to \infty} \ln x = \infty\) mais \(\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty\).
Règle de l’Hôpital
Si la limite donne une forme indéterminée \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\), alors :
\(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)
si cette dernière limite existe.
Conclusion
Le calcul d’une limite repose sur l’analyse du comportement de la fonction en un point ou à l’infini. Différentes techniques sont utilisées en fonction du type de fonction et de la nature de la limite recherchée.
Technique appliquée
Exemple : Calculer \(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 5}{x^2 – 4}\).
- Identification du degré dominant :
- Le terme de plus haut degré est \(x^2\) au numérateur et au dénominateur.
- Division par \(x^2\) :
- \(\frac{2x^2 + 3x + 5}{x^2 – 4} = \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2}}{1 – \frac{4}{x^2}}\).
- Passage à la limite :
- Lorsque \(x \to \infty\), les termes \(\frac{3}{x}\) et \(\frac{5}{x^2}\) tendent vers \(0\), ainsi que \(\frac{4}{x^2}\).
- On obtient \(\frac{2 + 0 + 0}{1 – 0} = 2\).
\(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 5}{x^2 – 4} = 2\).
Cette méthode s’applique à toutes les fonctions rationnelles en comparant les degrés des polynômes.