Chapitre 1 : Vocabulaire des probabilités
1.Vocabulaire des probabilités
1A. Evènement
Définitions :
Lors d’une expérience aléatoire, chaque résultat possible s’appelle une issue.
L’ensemble de toutes les issues possibles lors d’une expérience aléatoire est l’univers.
Une partie de l’univers s’appelle un évènement.
Une issue réalise un événement si cette issue est le résultat de cet évènement.
En particulier :
On note \(\emptyset \) l’évènement impossible : il n’est réalisé par aucune issue de l’univers.
L’univers est dit évènement certain : il est réalisé par toutes les issues.
Un évènement réalisé par une seule issue est dit élémentaire.
1B. Evènement contraire
Soit \(A\) un évènement d’un univers \(\Omega \).
On appelle évènement contraire de \(A\) , l’évènement noté \(\overline{A} \) et constitué de toutes les issues de \(\Omega\) qui ne réalisent pas \(A\).
1C. Intersection, réunion de deux évènements
Soit \(A\) et \(B\) deux évènements.
- On appelle réunion de \(A\) et de \(B\), l’évènement noté \(A \cup B\) constitué de toutes les issues réalisant \(A\) ou réalisant \(B\).
- On appelle intersection de \(A\) et de \(B\), l’évènement noté \(A \cap B\) et constitué des issues réalisant en même temps \(A\) et \(B\).
Remarque :
Deux évènements \(A\) et \(B\) tels que \(A \cap B = \emptyset \), c’est-à-dire qui ne peuvent pas être réalisés en même temps, sont dits incompatibles ou disjoints.
2. Probabilités
2A. Définitions
Soit une expérience aléatoire dont l’univers fini est \(\Omega = \) { \(e_1,e_2,e_3,…,e_n \) }
On appelle loi de probabilité sur \(\Omega\), une fonction \(p\) de \(\Omega\) vers \(\mathbb{R}\) telle que :
- pour tout \(i\) entre \(1\) et \(n\), \(p(e_i)\) est positif :
- on a la relation \(p(e_1) + p(e_2) + … + p(e_n) = 1\)
\(p(e_i)\) est la probabilité de l’évènement élémentaire \(e_i\).
Soit \(A\) un évènement d’un univers \(\Omega\)
On appelle probabilité de l’évènement \(A\), le nombre noté \(p(A)\) qui est égal à la somme des probabilités qui réalisent \(A\).
Conséquences :
La probabilité de l’évènement certain \(\Omega\) vaut 1 : \(p(\Omega)=1\)
La probabilité de l’évènement impossible \(\emptyset\) vaut \(0\) : \(p(\emptyset)=0\).
Pour tout évènement \(A\), on a : \(0\leq p(A) \leq 1\)
2B. Règles de calcul
Soit \(A\) et \(B\) deux évènements d’un univers \(\Omega\) muni d’une probabilité \(p\).
\(p(A\cup B) = p(A)+p(B)-p(A\cap B)\)
\(p(\overline{A})=1-p(A)\)
Remarque : Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles, alors \(p(A \cup B)=p(A)+p(B)\).
Définition
Un univers fini \(\Omega\) constitué de \(n\) issues est dit équiprobable si chacune des \(n\) issues a une probabilité de \(\frac{1}{n}\).
Propriété
Soit \(A\) un évènement dans un univers équiprobable \(\Omega\) à \(n\) issues.
On a : \(p(A)=\frac{\text{nombres d’issues réalisant}A}{n}\)
Loi des grands nombres
En effectuant un grand nombre de fois une expérience aléatoire, les fréquences observées sont proches des probabilités théoriques.