Exercices Corrigés Calcul Littéral – Ensemble de Nombres

Exercice 2 :

Définir par une phrase chacun des ensembles suivants :

a. \(\mathbb{Z}^{-}\)

b. \(\mathbb{Q}^{*}\)

c. \(\mathbb{R_*}^{+}\)
_Correction

Exercice 4

Développer les expressions suivantes :

a. \(A=(2x-1)^2\)

b. \(B=(2x+3)^2+(2x+3)(5x-7)\)

c. \(C=(3x+5)(6x-1)+(3x+5)^2\)
_{Correction commentée}

Exercice 5

Développer les expressions suivantes :

a. \(A=(2x-3)(x+2)-5(2x-3)\)

b. \(B=(3x+2)^2-(3x+2)(x+7)\)

c. \(C=(x-1)(2x+5)-(x-1)^2\)
_{Correction commentée}

Exercice 6

On considère les expressions suivantes :

\(D=(4x+5)(x-2)-x(x+4)\) et
\(E=(3x-10)(x+1)\)

En développant et réduisant \(D\) et \(E\), montrez que \(D=E\)
_Correction

Exercice 7

Factoriser les expressions suivantes :

a. \(A=(2x+3)^2+(2x+3)(5x-7)\)

b. \(B=(x-2)^2-2(x-2)\)

c. \(C=(3x+5)(6x-1)+(3x+5)^2\)
_Correction

Exercice 8

Factoriser les expressions suivantes :

a. \(D=(3x-2)^2-9\)

b. \(E=(2x+1)^2-4\)

c. \(F=36-(3x+5)^2\)

d. \(G=(2x-1)^2-16\)

_{Aide : Comment utiliser les identités remarquables
Correction commentée}

Exercice 9

1. On considère l’expression \(A=4x^2-9+(2x+3)(x-2)\)
a. Factoriser \(4x^2-9\)
b. En déduire une factorisation de l’expression \(A\)

2. On considère l’expression \(B=9x^2-25+(3x-5)(2x+15)\)
c. Factoriser \(9x^2-25\)
d. En déduire une factorisation de l’expression \(B\)
_{Correction commentée}

Exercice 10

On considère l’expression \(A=x^2-5x+7\)

Calculer l’expression \(A\) pour :
a. \(x=-5\)
b. \(x=1,2\)
c. \(x=\frac{1}{3}\)
d. \(x=\sqrt{3}\)
_{Correction commentée}

Exercice 11

De quelles équations le nombre \(-3\) est-il une solution ?
a. \(2x+5=-1\)
b. \(x^2+10=1\)
c. \(x(x-4)=21\)
_{Correction commentée}

Exercice 12

Résoudre les équations suivantes :
a. \(4x=2x+3\)

b. \(0,5x=7,5+0,2x\)

c. \(\frac{2x-3}{4}=\frac{x+5}{3}\)

d. \(\frac{4}{2x-5}=3\)

e. \(\frac{x+3}{x-1}=4\)
_{Correction commentée}

Exercice 13

Résoudre les équations suivantes :

a. \((x-2)(x-4)=0\)

b. \((2x+3)(7x-4)=0\)

c. \((x+5)(3x-1)=0\)

d. \((x+1)(2x-2)=0\)
_Correction

Exercice 14

Résoudre les équations suivantes :

a. \(x^2-36=0\)

b. \(x^2-11=34\)

c. \((x+1)^2=49\)

d. \(\frac{x^2-16}{x+5}=0\) avec \(x \neq -5\)
_{Correction commentée}

Exercice 15

On pose : \(D=(12x+3)(2x-7)-(2x-7)^2\)

a. Factoriser D
b. Résoudre l’équation \((2x-7)(x+1)=0\)
c. Préciser pour chaque solution à quel(s) ensemble(s) parmi ℕ ; ℤ ; 𝔻 ; ℚ et ℝ elle appartient.
_{Correction commentée}

Exercice 16

On pose : \(E=(2x-3)^2+(2x-3)(x+8)\)

a. Développer puis réduire l’expression algébrique \(E\)
b. Factoriser \(E\)
c. Calculer \(E\) quand \(x=\frac{3}{2}\)
_{Correction commentée}

Exercice FINAL

I-a. Développer et simplifier les deux expressions suivantes :
\((a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\((a-b)(a^2+ab+b^2)\)
b. En déduire des factorisations de \(H(x)=x^3-27\) et \(I(x)=8x^3+1\)

---

II- Soit l’expression \(D(x)=x^2+6x+8\)
a. Est-ce un membre d’une identité remarquable ?
b. En écrivant \(D(x)=x^2+6x+b^2-b^2+8\) avec \(b\) bien choisi, factoriser, à l’aide d’une première identité remarquable, les trois premiers termes de \(D(x)\), puis à l’aide d’une autre identité remarquable \(D(x)\) en entier.
c. Résoudre l’équation \(D(x)=0\)

---

III- Soit l’expression \(E(x)=4x^2+20x+21\). Procéder comme à la question II pour factoriser l’expression \(E(x)\) puis pour résoudre l’équation \(E(x)=0\)

---

IV- Soit l’expression \(F(x)=4x^2-20x+9\). Résoudre l’équation \(F(x)=0\).

---

V- En procédant de la même manière, montrer que l’équation \(x^2+4x-5=0\) n’a pas de solution.
_{Correction commentée}

Correction Commentée Ex 8

\(D=(3x-2)^2-9\) On reconnaît une différence de carrés, car \(9=3^2\). +-

\(D=[(3x-2)^2 – 3^2]\) On applique l’identité remarquable \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) avec \(a = (3x-2)\) et \(b = 3\).

\(D=(3x-2-3)(3x-2+3)\) On simplifie les termes dans chaque parenthèse pour obtenir la forme factorisée finale.

\(D=(3x-5)(3x+1)\)

---

\(E=(2x+1)^2 – 4\) On reconnaît une différence de carrés, car \(4=2^2\).

\(E=[(2x+1)^2 – 2^2]\) On applique l’identité remarquable \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) avec \(a = (2x+1)\) et \(b = 2\).

\(E=(2x+1-2)(2x+1+2)\) On simplifie les termes dans chaque parenthèse pour obtenir la forme factorisée finale.

\(E=(2x-1)(2x+3)\)

---

\(F=36 – (3x+5)^2\) On reconnaît une différence de carrés, car \(36=6^2\).

\(F=[6^2 – (3x+5)^2]\) On applique l’identité remarquable \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) avec \(a = 6\) et \(b = (3x+5)\).

\(F=(6 – (3x+5))(6 + (3x+5))\)

\(F=(6 – 3x – 5)(6 + 3x + 5)\) On simplifie les termes dans chaque parenthèse pour obtenir la forme factorisée finale.

\(F=(1 – 3x)(11 + 3x)\)

---

\(G=(2x-1)^2 – 16\) On reconnaît une différence de carrés, car \(16=4^2\).

\(G=[(2x-1)^2 – 4^2]\) On applique l’identité remarquable \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) avec \(a = (2x-1)\) et \(b = 4\).

\(G=(2x-1-4)(2x-1+4)\) On simplifie les termes dans chaque parenthèse pour obtenir la forme factorisée finale.

\(G=(2x-5)(2x+3)\)
_{retour à l’Exercice 8}

Correction Commentée Ex 9

1. a. \(4x^2 – 9\) On reconnaît une différence de carrés, car \(4x^2 = (2x)^2\) et \(9 = 3^2\).

On applique l’identité remarquable \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) avec \(a = 2x\) et \(b = 3\).

\(4x^2 – 9 = (2x – 3)(2x + 3)\)

b. \(A=4x^2-9+(2x+3)(x-2)\) On remplace \(4x^2 – 9\) par sa factorisation dans \(A\).

\(A = (2x – 3)(2x + 3) + (2x+3)(x-2)\) On met \((2x+3)\) en facteur.

\(A = (2x+3)[(2x – 3) + (x – 2)]\) On simplifie l’expression entre crochets.

\(A = (2x+3)(3x – 5)\)

---

2. c. \(9x^2 – 25\) On reconnaît une différence de carrés, car \(9x^2 = (3x)^2\) et \(25 = 5^2\).

On applique l’identité remarquable \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) avec \(a = 3x\) et \(b = 5\).

\(9x^2 – 25 = (3x – 5)(3x + 5)\)

d. \(B=9x^2-25+(3x-5)(2x+15)\) On remplace \(9x^2 – 25\) par sa factorisation dans \(B\).

\(B = (3x – 5)(3x + 5) + (3x – 5)(2x + 15)\) On met \((3x – 5)\) en facteur.

\(B = (3x – 5)[(3x + 5) + (2x + 15)]\) On simplifie l’expression entre crochets.

\(B = (3x – 5)(5x + 20)\)
_{retour à l’Exercice 9}

Correction Commentée Ex 10

\(A=x^2-5x+7\)

a. \(A = (-5)^2 – 5(-5) + 7\) On remplace \(x\) par \(-5\).

\(A = 25 + 25 + 7\)

\(A = 57\)

---

b. \(A = (1.2)^2 – 5(1.2) + 7\) On remplace \(x\) par \(1.2\).

\(A = 1.44 – 6 + 7\)

\(A = 2.44\)

---

c. \(A = \left(\frac{1}{3}\right)^2 – 5\left(\frac{1}{3}\right) + 7\) On remplace \(x\) par \(\frac{1}{3}\).

\(A = \frac{1}{9} – \frac{5}{3} + 7\) On met tout au même dénominateur (\(9\)).

\(A = \frac{1}{9} – \frac{15}{9} + \frac{63}{9}\)

\(A = \frac{49}{9}\)

---

d. \(A = (\sqrt{3})^2 – 5(\sqrt{3}) + 7\) On remplace \(x\) par \(\sqrt{3}\).

\(A = 3 – 5\sqrt{3} + 7\)

\(A = 10 – 5\sqrt{3}\)
_{retour à l’Exercice 10}

Correction Commentée Ex 11

a. \(2x + 5 = -1\) On remplace \(x\) par \(-3\).

\(2(-3) + 5 = -6 + 5 = -1\)

L’égalité est vraie, donc \(-3\) est solution.

b. \(x^2 + 10 = 1\) On remplace \(x\) par \(-3\).

\((-3)^2 + 10 = 9 + 10 = 19 \neq 1\)

L’égalité est fausse, donc \(-3\) n’est pas solution.

c. \(x(x – 4) = 21\) On remplace \(x\) par \(-3\).

\((-3)(-3 – 4) = (-3)(-7) = 21\) L’égalité est vraie, donc \(-3\) est solution.
_{retour à l’Exercice 11}

Correction Commentée Ex 12

a. \(4x = 2x + 3\) On isole \(x\) en soustrayant \(2x\) des deux côtés.

\(4x – 2x = 3\)

\(2x = 3\) On divise par \(2\).

\(x = \frac{3}{2}\)

---

b. \(0.5x = 7.5 + 0.2x\) On isole \(x\) en soustrayant \(0.2x\) des deux côtés.

\(0.5x – 0.2x = 7.5\)

\(0.3x = 7.5\) On divise par \(0.3\).

\(x = \frac{7.5}{0.3} = 25\)

---

c. \(\frac{2x-3}{4} = \frac{x+5}{3}\) On effectue le produit en croix.

\(3(2x – 3) = 4(x + 5)\)

\(6x – 9 = 4x + 20\) On isole \(x\).

\(6x – 4x = 20 + 9\)

\(2x = 29\) On divise par \(2\).

\(x = \frac{29}{2}\)

---

d. \(\frac{4}{2x – 5} = 3\) On effectue le produit en croix.

\(4 = 3(2x – 5)\)

\(4 = 6x – 15\) On isole \(x\).

\(6x = 4 + 15\)

\(6x = 19\) On divise par \(6\).

\(x = \frac{19}{6}\)

---

e. \(\frac{x+3}{x-1} = 4\) On effectue le produit en croix.

\(x + 3 = 4(x – 1)\)

\(x + 3 = 4x – 4\) On isole \(x\).

\(3 + 4 = 4x – x\)

\(7 = 3x\) On divise par \(3\).

\(x = \frac{7}{3}\)
_{retour à l’Exercice 12}

Correction Ex 13

a. \((x-2)(x-4)=0\) Un produit est nul si l’un des facteurs est nul.

\(x – 2 = 0\) ou \(x – 4 = 0\)

\(x = 2\) ou \(x = 4\)

Solutions : \({2 ; 4}\)

---

b. \((2x+3)(7x-4)=0\) Un produit est nul si l’un des facteurs est nul.

\(2x + 3 = 0\) ou \(7x – 4 = 0\)

On résout \(2x + 3 = 0\) :

\(2x = -3\)

\(x = -\frac{3}{2}\)

On résout \(7x – 4 = 0\) :

\(7x = 4\)

\(x = \frac{4}{7}\)

Solutions : \({-\frac{3}{2} ; \frac{4}{7}}\)

---

c. \((x+5)(3x-1)=0\) Un produit est nul si l’un des facteurs est nul.

\(x + 5 = 0\) ou \(3x – 1 = 0\)

On résout \(x + 5 = 0\) :

\(x = -5\)

On résout \(3x – 1 = 0\) :

\(3x = 1\)

\(x = \frac{1}{3}\)

Solutions : \({-5 ; \frac{1}{3}}\)

---

d. \((x+1)(2x-2)=0\) Un produit est nul si l’un des facteurs est nul.

\(x + 1 = 0\) ou \(2x – 2 = 0\)

On résout \(x + 1 = 0\) :

\(x = -1\)

On résout \(2x – 2 = 0\) :

\(2x = 2\)

\(x = 1\)

Solutions : $latex {-1 ; 1}
_{retour à l’Exercice 13}

Correction Commentée Ex 14

a. \(x^2 – 36 = 0\) On reconnaît une identité remarquable : \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).

\((x – 6)(x + 6) = 0\) Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.

\(x – 6 = 0 \quad\) ou \(\quad x + 6 = 0\) On résout chaque équation.

\(x = 6 \quad\) ou \(\quad x = -6\)

---

b. \(x^2 – 11 = 34\) On isole le terme contenant \(x^2\) en ajoutant 11 des deux côtés.

\(x^2 = 45\) On prend la racine carrée des deux côtés.

\(x = \pm\sqrt{45}\) On simplifie la racine.

\(x = \pm 3\sqrt{5}\)

---

c. \((x+1)^2 = 49\) On prend la racine carrée des deux côtés.

\(x + 1 = \pm 7\) On isole \(x\).

\(x = -1 \pm 7\) Il y a donc deux solutions.

\(x = -1 + 7 = 6\) ou \(x = -1 – 7 = -8\)

\(x = 6\) ou \(x = -8\)

---

d. \(\frac{x^2 – 16}{x+5} = 0\) On multiplie des deux côtés par \((x+5)\)

\(x^2 – 16 = 0\) On factorise \(x^2 – 16\) en utilisant la différence de carrés.

\((x – 4)(x + 4) = 0\)

\(x – 4 = 0 \quad\) ou \(\quad x + 4 = 0\)

\(x = 4\) ou \(x = -4\)
_{retour à l’Exercice 14}

Correction Commentée Ex 15

a. \(D = (12x+3)(2x-7)-(2x-7)^2\) On met \((2x-7)\) en facteur

\(D = (2x-7)[(12x+3) – (2x-7)]\) On simplifie l’expression entre crochets

\(D = (2x-7)(12x + 3 – 2x + 7 )\)

\(D = (2x-7)(10x+10)\)

---

b. Résolvons \((2x-7)(x+1)=0\) Un produit est nul si l’un des facteurs est nul :

\(2x – 7 = 0\) ou \(x + 1 = 0\)

On résout \(2x – 7 = 0\) :

\(2x = 7\)

\(x = \frac{7}{2}\)

On résout \(x + 1 = 0\) :

\(x = -1\)

Solutions : \({-1 ; \frac{7}{2}}\)

---

c. Déterminons l’appartenance des solutions :

• \(x = -1\) est un entier relatif, donc \(x \in \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\).
• \(x = \frac{7}{2}\) est un rationnel, donc \(x \in \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) mais pas dans \(\mathbb{N}\) ni \(\mathbb{Z}\).
  

_{retour à l’Exercice 15}

Correction Commentée Ex 16

a. \(E = (2x – 3)^2 + (2x – 3)(x + 8)\) On développe chaque terme.

\(E = 4x^2 – 12x + 9 + 2x^2 + 16x – 3x – 24\) On effectue les multiplications.

\(E = (4x^2 + 2x^2) + (-12x + 16x – 3x) + (9 – 24)\) On regroupe les termes de même nature et on simplifie.

\(E = 6x^2 + x – 15\)

---

b. \(E = (2x – 3)^2 + (2x – 3)(x + 8)\) On explicite le terme de gauche

\(E = (2x – 3)(2x-3) + (2x – 3)(x + 8)\) On factorise par le facteur commun \((2x – 3)\)

\(E = (2x – 3)[(2x-3) +(x + 8)]\) On simplifie.

\(E = (2x – 3)(3x+5)\)

---

c. Calcul de \(E\) pour \(x = \frac{3}{2}\)

On remplace \(x\) par \(\frac{3}{2}\) dans l’expression factorisée.

\(E = (3 \times \frac{3}{2} + 5)(2 \times \frac{3}{2} – 3)\)

\(E = (\frac{9}{2} + 5)(3 – 3)\) On met au même dénominateur.

\(E = (\frac{9}{2} + \frac{10}{2}) \times 0\)

\(E = \frac{19}{2} \times 0\)

\(E = 0\)
_{retour à l’Exercice 16}

Correction Commentée EXERCICE FINAL

I-a. \((a+b)(a^2-ab+b^2)\) On développe en appliquant la distributivité.

\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a(a^2-ab+b^2) + b(a^2-ab+b^2)\)

\((a+b)(a^2-ab+b^2)= a^3 – a^2b + ab^2 + a^2b – ab^2 + b^3\) On simplifie les termes opposés \((-a^2b + a^2b)\) et \((ab^2 – ab^2)\).

\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3 + b^3\)

\((a-b)(a^2+ab+b^2)\) On développe en appliquant la distributivité.

\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a(a^2+ab+b^2) – b(a^2+ab+b^2)\)

\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3 + a^2b + ab^2 – a^2b – ab^2 – b^3\) On simplifie les termes opposés \((a^2b – a^2b)\) et \((ab^2 – ab^2)\).

\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3 – b^3\)

b. \(H(x) = x^3 – 27\) On reconnaît une différence de cubes : \(27 = 3^3\).

\(H(x) = x^3 – 3^3\) On applique la factorisation \(a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)\).

\(H(x) = (x – 3)(x^2 + 3x + 9)\)

\(I(x) = 8x^3 + 1\) On reconnaît une somme de cubes : \(8x^3 = (2x)^3\) et \(1 = 1^3\).

\(I(x) = (2x)^3 + 1^3\) On applique la factorisation \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)\).

\(I(x) = (2x + 1)((2x)^2 – (2x) × 1 + 1^2)\)

\(I(x) = (2x + 1)(4x^2 – 2x + 1)\)

---

II- a. On considère l’expression \(D(x) = x^2 + 6x + 8\). On recherche si cette expression est un membre d’une identité remarquable.

Les identités remarquables sont :

• \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
• \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\)

On observe que \(D(x) = x^2 + 6x + 8\) ne correspond pas directement à une de ces identités.

b. On écrit \(D(x)\) sous la forme :

\(D(x) = x^2 + 6x + b^2 – b^2 + 8\)

On choisit \(b\) tel que \(6x = 2bx\), donc \(b = 3\).

\(D(x) = x^2 + 6x + 3^2 – 3^2 + 8\) On regroupe les trois premiers termes.

\(D(x) = (x^2 + 6x + 9) – 9 + 8\) On reconnaît une identité remarquable de type \((a + b)^2\).

\(D(x) = (x + 3)^2 – 1\) On applique l’identité remarquable \((a^2 – b^2) = (a – b)(a + b)\).

\(D(x) = (x + 3 – 1)(x + 3 + 1)\)

\(D(x) = (x + 2)(x + 4)\)

c. On résout l’équation \(D(x) = 0\) :

\((x + 2)(x + 4) = 0\) Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.

\(x + 2 = 0 \quad\) ou \(\quad x + 4 = 0\) On résout chaque équation.

\(x = -2 \quad\) ou \(\quad x = -4\)

---

III- \(E(x)=4x^2+20x+21\)

On écrit \(E(x)\) sous la forme \(E(x) = 4x^2 + 20x + b^2 – b^2 + 21\) avec un \(b\) bien choisi. On cherche \(b\) tel que \(4x^2 + 20x + b^2\) soit une identité remarquable de la forme \((ax + b)^2\).

On a \(4x^2 + 20x = (2x)^2 + 2 × 2x × 5 = (2x + 5)^2 – 25\). On remplace dans \(E(x)\) :

\(E(x) = (2x + 5)^2 – 25 + 21\)

\(E(x) = (2x + 5)^2 – 4\) On reconnaît une différence de carrés : \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).

\(E(x) = (2x + 5 – 2)(2x + 5 + 2)\)

\(E(x) = (2x + 3)(2x + 7)\)

On résout \((2x + 3)(2x + 7) = 0\). Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.

\(2x + 3 = 0 \quad\) ou \(\quad 2x + 7 = 0\) On résout chaque équation.

\(2x = -3 \quad\) donc \(x = -\frac{3}{2}\) ou \(2x = -7 \quad\) donc \(x = -\frac{7}{2}\)

Les solutions de l’équation sont :

\(x = -\frac{3}{2} \quad\) et \(\quad x = -\frac{7}{2}\)

---

IV- \(F(x)=4x^2-20x+9\)

On écrit \(F(x)\) sous la forme \(F(x) = 4x^2 – 20x + b^2 – b^2 + 9\) avec un \(b\) bien choisi. On cherche \(b\) tel que \(4x^2 – 20x + b^2\) soit une identité remarquable de la forme \((ax – b)^2\).

On a \(4x^2 – 20x = (2x)^2 – 2 × 2x × 5 = (2x – 5)^2 – 25\). On remplace dans \(F(x)\) :

\(F(x) = (2x – 5)^2 – 25 + 9\)

\(F(x) = (2x – 5)^2 – 16\) On reconnaît une différence de carrés : \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).

\(F(x) = (2x – 5 – 4)(2x – 5 + 4)\)

\(F(x) = (2x – 9)(2x – 1)\)

On résout \((2x – 9)(2x – 1) = 0\). Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.

\(2x – 9 = 0 \quad\) ou \(\quad 2x – 1 = 0\) On résout chaque équation :

\(2x = 9 \quad\) donc \(x = \frac{9}{2}\) ou \(2x = 1 \quad\) donc \(x = \frac{1}{2}\)

Les solutions de l’équation sont :

\(x = \frac{9}{2} \quad\) et \(\quad x = \frac{1}{2}\)

---

V- \(x^2+4x-5=0\) ⇔ \(x^2 + 2 × x × 2 + 2^2 -2^2+5=0\) même technique que dans III et IV.
⇔ \((x+2)^2+1=0\)
⇔ \((x+2)^2=-1\)

Un carré étant positif, l’équation \(x^2+4x-5=0\) ne possède pas de solution ( dans ℝ )
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