Chapitre 1 : Fonctions Affines
Chapitre 3 : Équation de droite
- A- Équation d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées
- B- Équation réduite d’une droite sécante à l’axe des ordonnées
Chapitre 4 : Positions relatives de deux droites
1- Fonctions affines
1A. Définition
Soit \(a\) et \(b\) deux réels donnés.
La fonction \(f:x \mapsto ax+b\) est une fonction affine définie sur \(\mathbb{R}\)
Exemple : La fonction définie pour tout réel x par \(f:x \mapsto 2x+3\) est une fonction affine.
Cas particuliers :
- Si a=0, la fonction affine \(x \mapsto b\) est dite constante.
- Si b=0, la fonction affine \(x \mapsto ax\) est dite linéaire.
1B. Sens de variation
Soit \(f:x \mapsto ax+b\) une fonction affine définie sur \(\mathbb{R}\)
\(f\) est croissante sur ℝ si, et seulement si, a est positif.
\(f\) est décroissante sur ℝ si, et seulement si, a est négatif.
Exemple : la fonction \(f:x \mapsto 2x-3\) est croissante sur ℝ, car a = 2, donc a est positif.
la fonction \(g:x \mapsto -3x+2\) est décroissante sur ℝ, car a = -3, donc a est négatif.
1C. Représentation graphique
Soit \(f:x \mapsto ax+b\) une fonction affine définie sur \(\mathbb{R}\).
La représentation graphique de \(f\) est une droite.
Remarque :
La représentation graphique \(D\) de la fonction affine \(f:x \mapsto ax+b\) avec \(a\neq0\) coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse \(\frac{-b}{a}\) et l’axe des ordonnées au point d’ordonnée \(b\).
2- Binôme
2A. Définitions
- Soit \(a\) et \(b\) deux réels avec \(a\neq0\).
L’expression \(ax+b\) s’appelle un binôme.
Exemple : \(3x+2\) est un binôme avec \(a=3\) et \(b=2\).
- Soit \(ax+b\) un binôme.
La valeur \(\frac{-b}{a}\) s’appelle racine du binôme ; c’est la valeur qui rend nul le binôme.
Exemple : Pour le binôme \(3x+2\), sa racine \(\frac{-b}{a}\) vaut \(\frac{-2}{3}\)
2B. Signe du binôme
Soit \(ax+b\) un binôme.
\(ax+b\) est du signe de \(a\) pour les valeurs supérieures à sa racine \(\frac{-b}{a}\) et du signe contraire de celui de \(a\) pour les valeurs inférieures à sa racine.
Schéma
3- équation de droite
3A. Équation d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées
Soit \((d)\) une droite parallèle à l’axe des ordonnées dans le plan muni d’un repère.
Soit \(A(a;0)\) l’intersection de \((d)\) avec l’axe des abscisses.
Une équation de \((d)\) est \(x=a\).
Un point \(M(x;y)\) appartient à \((d)\Leftrightarrow x=a\).
3B. équation réduite d’une droite sécante à l’axe des ordonnées
Soit \((d)\) une droite sécante à l’axe des ordonnées dans le plan muni d’un repère.
- Une équation réduite de la droite \((d)\) est \(y=ax+b\)
- \(a\) s’appelle coefficient directeur de \((d)\).
- \(b\) est l’ordonnée à l’origine.
Un point \(M(x ; y)\) appartient à \((d)\) d’équation réduite \(y=ax+b\) si, et seulement si, ses coordonnées vérifient la relation \(y=ax+b\)
Soit \(A(x_A ; y_A)\) et \(B(x_B ; y_B)\) deux points dans le plan muni d’un repère, avec \(x_A \neq x_B\).
La droite \((AB)\) est sécante à l’axe des ordonnées et son coefficient directeur est :
\(a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)
4- Positions relatives de deux droites
4A. Droites parallèles
Soit \((d)\) et \((d’)\) deux droites sécantes à l’axe des ordonnées dans le plan muni d’un repère et d’équations respectives \(y=ax+b\) et \(y=a’x+b’\).
\((d)\) et \((d’)\) sont parallèles si, et seulement si, \(a=a’\).
4B. Droites sécantes et intersection
Soit \((d)\) et $latex(d’)$ d’équations respectives \(y=ax+b\) et \(y=a’x+b’\) dans le plan muni d’un repère.
- \((d)\) et \((d’)\) sont sécantes si, et seulement si \(a\neq a’\).
- Le point d’intersection de \((d)\) et de \((d’)\) a pour coordonnées l’unique couple solution du système :
\(\left\{ \begin{array} \ y=ax+b \\ y=a’x+b’. \end{array} \right.\)
Exemple : Les droites \((d)\), \(y=0,75x+1×75\) et \((d’)\), \(y=-0,75x+0x25\) sont sécantes en un point \(A\) de coordonnées \((-1;1)\), couple solution du système \(\left\{ \begin{array} \ y=0,75x+1,75 \\ y=-0,75x+0,25′. \end{array} \right.\)