Chapitre 1 : Multiples – Diviseurs
1- Multiples – Diviseurs
Soit a,b et n trois entiers naturels non nuls tels que \(n=a×b\) on dit que a et b sont des diviseurs de n et n est un multiple de a et de b.
Remarque : pour tout entier non nul, \(n=1×n\) donc 1 et n sont des diviseurs de n.
Un entier naturel n est dit pair, s’il est divisible par 2, c’est à dire s’il existe un entier k tel que \(n=2k\)
Un entier naturel n est dit impair, s’il n’est pas divisible par 2, c’est à dire s’il existe un entier k tel que \(n=2k+1\)
On appelle nombre premier tout entier naturel n admettant exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
La liste des nombres premiers commence par : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ….
2- Puissances
2A. Définitions
Soit \(a\) un nombre non nul.
Si \(n\) est un entier ( \(n > 1\) ), on a :
\(a^n=\underbrace{a×a×a×a×…×a}_{n\:facteurs\:a}\qquad a^1=a\qquad a^0=1\)
\(a^n\) se lit a puissance n
Pour tout entier \(n\) on a : \(a^{-n}=\frac{a}{a^n}\)
2B. Règles de calcul
Soit \(m\) et \(n\) deux entiers et \(a\) et \(b\) deux nombres non nuls.
\(a^n×a^m=a^{n+m}\qquad \qquad (a^n)^m=a^{n×m} \qquad \qquad \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\)
\(\qquad \qquad (ab)^n=a^{n}b^n \qquad \qquad ( \frac{a}{b})^n= \frac{a^n}{b^n}\)
2C. Puissances de 10
Les puissances de 10 sont des nombres de la forme \(10^n\), où n est un entier.
- Si n est positif, on obtient un nombre entier avec n zéros après le 1 :
\(10^3 = 1000\), \(10^5 = 100000\). - Si n est négatif, on obtient un nombre décimal avec n zéros après la virgule avant le 1 :
\(10^{-2} = 0,01\), \(10^{-4} = 0,0001\).
Les puissances de 10 sont très utilisées pour exprimer de très grands ou très petits nombres de manière simplifiée.
2D. Notations scientifiques
La notation scientifique est une manière d’écrire les grands et petits nombres en utilisant les puissances de 10.
Définition : Un nombre est en notation scientifique s’il s’écrit sous la forme :
\(a \times 10^n\), où :
- \(1 \leq a < 10\) est un nombre décimal,
- n est un entier relatif.
Exemples :
- \(450000 = 4,5 \times 10^5\)
- \(0,00032 = 3,2 \times 10^{-4}\)
Cette notation est particulièrement utilisée en physique et en sciences pour simplifier l’écriture des nombres.
3- Encadrement par des décimaux à 10n près
Encadrer un nombre à \(10^n\) près signifie déterminer les deux multiples de \(10^n\) les plus proches de ce nombre.
Exemples :
- Encadrons 8742 à \(10^2\) près :
- On cherche les multiples de \(10^2\) (c’est-à-dire les centaines) entourant 8742.
- On trouve \(8700 \leq 8742 \leq 8800\).
- Encadrons 0,00784 à \(10^{-3}\) près :
- On cherche les multiples de \(10^{-3}\) (millièmes) entourant 0,00784.
- On trouve \(0,007 \leq 0,00784 \leq 0,008\).
Cette méthode est utile pour les approximations et les arrondis.
4- Racine carrée
4A. Définition
La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif x tel que \(x^2 = a\). On la note \(\sqrt{a}\).
on a \(\sqrt{a^2}=a\) et \((\sqrt{a})^2=a\)
Exemples :
- \(\sqrt{9} = 3\) car \(3^2 = 9\).
- \(\sqrt{25} = 5\) car \(5^2 = 25\).
La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans l’ensemble des nombres réels.
4B. Règles de calcul
\(\sqrt{a \times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}\qquad \qquad \sqrt{a^2 \times b} =a \sqrt{b}\qquad \qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), avec \(b \neq 0\)
5- Valeur absolue
5A. Définitions
La valeur absolue d’un nombre réel x, notée \(|x|\), représente la distance entre x et 0 sur la droite numérique.
\(|x| = \begin{cases} x, & \text{si } x \geq 0 \\ -x, & \text{si } x < 0 \end{cases}\)
Exemples :
- \(|5| = 5\)
- \(|-3| = 3\)
- \(|0| = 0\)
5B. Propriétés
- Inégalité triangulaire : Pour tous réels a et b :
\(|a + b| \leq |a| + |b|\).
Exemple : \(|3 + (-5)| = |-2| = 2 \leq |3| + | -5| = 3 + 5 = 8\).
\(|a \times b| = |a| \times |b|\)
Exemple : \(|(-2) \times 3| = |-6| = 6\) et \(|-2| \times |3| = 2 \times 3 = 6\).
\(\left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|}\), avec \(b \neq 0\)
Exemple : \(\left| \frac{-8}{2} \right| = \frac{|-8|}{|2|} = \frac{8}{2} = 4\).