Comment utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ?

1. Problématique

Comment peut-on déterminer si un triangle est rectangle à partir des longueurs de ses côtés ? La réciproque du théorème de Pythagore permet de répondre à cette question de manière simple et efficace.

2. Rappel de la réciproque du théorème de Pythagore

La réciproque du théorème de Pythagore énonce que :

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Mathématiquement, si un triangle ABC vérifie la relation suivante :

\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)

alors, le triangle ABC est rectangle en A.

3. Quand et comment l’utiliser ?

Cas d’utilisation

On utilise la réciproque du théorème de Pythagore lorsque l’on souhaite vérifier si un triangle est rectangle à partir des longueurs de ses trois côtés.

Méthode d’application

  1. Identifier le plus grand côté du triangle.
  2. Calculer le carré de la longueur du plus grand côté.
  3. Calculer la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
  4. Comparer les deux valeurs :
    • Si elles sont égales, alors le triangle est rectangle.
    • Si elles sont différentes, alors le triangle n’est pas rectangle.

Conclusion

La réciproque du théorème de Pythagore est un outil essentiel en géométrie pour déterminer si un triangle est rectangle. Son application repose sur la vérification d’une relation simple entre les carrés des longueurs des côtés. Si cependant on sait déjà que le triangle est rectangle et que l’on souhaite déterminer une longueur de ce même triangle, il faut utiliser le théorème.

Technique appliquée

Exemple : On considère un triangle ABC avec \(AB = 5\) cm, \(AC = 12\) cm et \(BC = 13\) cm. Déterminons si ce triangle est rectangle.

  1. On identifie le plus grand côté : c’est \(BC = 13\) cm.
  2. On calcule le carré de \(BC\) :\(BC^2 = 13^2 = 169\)
  3. On calcule la somme des carrés des deux autres côtés :\(AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)
  4. On compare :\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)Comme l’égalité est vérifiée, le triangle ABC est rectangle en A.

Le triangle ABC est bien un triangle rectangle.