1. Définition d’une équation exponentielle
Une équation exponentielle est une équation dans laquelle l’inconnue se trouve dans l’exposant d’une puissance.
Exemple : \(2^x = 8\) ou \(e^{x+1} = 5\).
L’objectif est de trouver les valeurs de \(x\) qui satisfont l’équation.
2. Résolution d’une équation exponentielle
Cas 1 : Mise sous la même base
Lorsque les deux membres de l’équation peuvent être écrits avec la même base, on utilise la propriété suivante :
Si \(a^x = a^y\), alors \(x = y\).
Exemple : \(2^x = 8\)
On réécrit \(8\) sous la même base : \(8 = 2^3\).
Donc, \(2^x = 2^3\) implique \(x = 3\).
Cas 2 : Utilisation du logarithme
Lorsque l’équation ne peut pas être mise sous la même base, on utilise le logarithme.
Si \(a^x = b\), alors on applique le logarithme :
\(x = \frac{\ln b}{\ln a}\).
Exemple : \(3^x = 10\)
On applique le logarithme : \(x = \frac{\ln 10}{\ln 3} \approx 2.1\).
Cas 3 : Équation avec l’exponentielle de base e
Lorsque l’équation contient une exponentielle avec la base \(e\), on utilise le logarithme népérien \(\ln\).
Exemple : \(e^{x+1} = 5\)
On applique \(\ln\) de chaque côté :
\(\ln(e^{x+1}) = \ln 5\).
Or, \(\ln(e^y) = y\), donc :
\(x+1 = \ln 5\).
\(x = \ln 5 – 1 \approx 0.61\).
3. Cas particuliers
Cas des équations avec plusieurs termes
Si l’équation comporte plusieurs termes exponentiels, on cherche à factoriser ou à poser une substitution.
Exemple : \(2^x + 2^{x+1} = 12\)
On factorise : \(2^x (1 + 2) = 12\)
\(3 \times 2^x = 12\)
\(2^x = 4\)
Donc \(x = 2\).
Conclusion
Pour résoudre une équation exponentielle, on cherche d’abord à écrire les termes sous une même base. Si ce n’est pas possible, on utilise le logarithme. Les cas plus complexes peuvent nécessiter des factorisations ou des substitutions.
Technique appliquée
Exemple : Résoudre \(5^{2x+1} = 25\)
- On écrit 25 sous la même base : \(25 = 5^2\).
- L’équation devient \(5^{2x+1} = 5^2\).
- On égale les exposants : \(2x+1 = 2\).
- On résout : \(2x = 1\) donc \(x = \frac{1}{2}\).
Réponse : \(x = \frac{1}{2}\).