Comment résoudre une équation du second degrés ?

1. Définition

Une équation du second degré est une équation de la forme :

\(ax^2 + bx + c = 0\)

où \(a, b, c\) sont des nombres réels et \(a \neq 0\).

L’objectif est de trouver les valeurs de \(x\) qui satisfont cette équation.

2. Identifier les éléments clés

Avant de résoudre l’équation, identifions ses coefficients :

  • \(a\) : coefficient de \(x^2\)
  • \(b\) : coefficient de \(x\)
  • \(c\) : terme constant

Le discriminant est défini par :

\(\Delta = b^2 – 4ac\)

Son signe détermine le nombre de solutions réelles de l’équation.

3. Choisir la bonne méthode de résolution

Il existe trois cas en fonction du discriminant :

  • Si \(\Delta > 0\) : il y a deux solutions réelles distinctes données par :\(x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)
  • Si \(\Delta = 0\) : il y a une seule solution réelle (double) :\(x = \frac{-b}{2a}\)
  • Si \(\Delta < 0\) : il n’y a pas de solution réelle.

4. Vérifier la solution

Une fois les valeurs de \(x\) obtenues, on peut vérifier en les remplaçant dans l’équation initiale.

Conclusion

Pour résoudre une équation du second degré :

  1. Identifier les coefficients \(a, b, c\).
  2. Calculer le discriminant \(\Delta\).
  3. Appliquer la bonne formule en fonction de \(\Delta\).
  4. Vérifier les solutions.

Technique appliquée

Exemple : Résolvons l’équation suivante :

\(2x^2 – 3x – 2 = 0\)

  1. Identification des coefficients :
    • \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = -2\)
  2. Calcul du discriminant :\(\Delta = (-3)^2 – 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25\)
  3. Calcul des solutions :\(x_1 = \frac{-(-3) – \sqrt{25}}{2 \times 2} = \frac{3 – 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)\(x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \times 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2\)
  4. Vérification :
    • Pour \(x_1 = -\frac{1}{2}\) :\(2 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^2 – 3 \times \left(-\frac{1}{2}\right) – 2 = 2 \times \frac{1}{4} + \frac{3}{2} – 2 = \frac{2}{4} + \frac{6}{4} – \frac{8}{4} = 0\)
    • Pour \(x_2 = 2\) :\(2 \times 2^2 – 3 \times 2 – 2 = 8 – 6 – 2 = 0\)

Les solutions sont donc \(x = -\frac{1}{2}\) et \(x = 2\).