1. Définition
Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité qui contient une seule variable (notée souvent \(x\)) et où la puissance la plus élevée de cette variable est 1.
Exemples :
- \(3x + 5 = 11\)
- \(2x – 7 = 3x + 1\)
2. Méthode de résolution
L’objectif est de trouver la valeur de \(x\) qui rend l’égalité vraie.
A. Réduire l’équation
On regroupe tous les termes en \(x\) d’un côté et les termes constants de l’autre en appliquant les règles de calcul sur les inégalités :
- Ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres.
- Multiplier ou diviser par un même nombre (différent de 0).
B. Exemples de résolution
Exemple 1 : \(3x + 5 = 11\)
- Soustraire 5 aux deux membres :
\(3x = 11 – 5\)
\(3x = 6\) - Diviser par 3 :
\(x = \frac{6}{3}\)
\(x = 2\)
Exemple 2 : \(2x – 7 = 3x + 1\)
- Soustraire \(2x\) aux deux membres :
\(-7 = x + 1\) - Soustraire 1 aux deux membres :
\(-7 – 1 = x\)
\(x = -8\)
3. Cas particulier : équations sans solution ou infinies solutions
- Pas de solution : \(2x + 3 = 2x – 5\)
En simplifiant, on obtient \(3 = -5\), ce qui est faux. L’équation n’a donc aucune solution. - Infinité de solutions : \(2x + 4 = 2(x + 2)\)
En développant, on obtient \(2x + 4 = 2x + 4\), ce qui est toujours vrai. L’équation admet donc une infinité de solutions.
Conclusion
Résoudre une équation du premier degrés revient à trouver la ou les valeurs de x qui rendent l’égalité vraie. Pour cela on procède par étapes :
- On isole les \(x\) d’un côté de l’égalité à l’aide d’opérations effectuées des deux côtés de l’égalité
- On divise des deux côtés par le nombre devant le \(x\) pour obtenir la valeur de \(x\)
Technique appliquée : résoudre \(8x-2=6\)
\(8x-2+\color{green}2=6+\color{green}2\)
\(8x=8\)
\(\frac{8x}{8}=\frac{8}{8}\)
\(x=1\) donc la solution de l’équation \(8x-2=6\) est \(x=1\)