1. Définition de la valeur absolue
La valeur absolue d’un nombre réel \(x\), notée \(|x|\), représente sa distance à 0 sur la droite réelle. Elle est définie par :
\(|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}\)
2. Méthode générale pour résoudre une équation avec valeur absolue
Une équation de la forme \(|A(x)| = B(x)\) se résout en étudiant les deux cas suivants :
- Cas positif : \(A(x) = B(x)\)
- Cas négatif : \(A(x) = -B(x)\)
Il faut aussi vérifier que \(B(x) \geq 0\) car une valeur absolue ne peut jamais être négative.
3. Exemples de résolution
Cas simple : \(|x – 3| = 5\)
On étudie les deux cas :
- \(x – 3 = 5 \Rightarrow x = 8\)
- \(x – 3 = -5 \Rightarrow x = -2\)
Solution : \(x = -2\) ou \(x = 8\).
Cas avec une fonction : \(|2x + 1| = 3x – 4\)
On impose d’abord \(3x – 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{4}{3}\).
Ensuite, on résout :
- Cas positif : \(2x + 1 = 3x – 4 \Rightarrow x = 5\)
- Cas négatif : \(2x + 1 = -(3x – 4) \Rightarrow 2x + 1 = -3x + 4 \Rightarrow 5x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{5}\)
Seule la solution \(x = 5\) est valide car \(x = \frac{3}{5}\) ne satisfait pas \(x \geq \frac{4}{3}\).
Solution : \(x = 5\).
Conclusion
Les équations avec valeurs absolues se résolvent en décomposant les cas possibles et en vérifiant les conditions imposées par la définition de la valeur absolue.
Technique appliquée
Exemple : Résoudre \(|x + 2| = 3x – 1\)
- On impose \(3x – 1 \geq 0\) soit \(x \geq \frac{1}{3}\).
- Cas positif : \(x + 2 = 3x – 1 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\).
- Cas négatif : \(x + 2 = -(3x – 1) \Rightarrow x + 2 = -3x + 1 \Rightarrow 4x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}\).
- On vérifie : seule \(x = \frac{3}{2}\) vérifie \(x \geq \frac{1}{3}\).
Solution : \(x = \frac{3}{2}\).