1. Définition et principes
Un système d’équations linéaires est un ensemble de plusieurs équations à plusieurs inconnues. Résoudre un tel système signifie trouver les valeurs des inconnues qui vérifient toutes les équations simultanément.
Un système de deux équations à deux inconnues a la forme générale :
\(\begin{cases} ax + by = c \ dx + ey = f \end{cases}\)
où \(a, b, c, d, e, f\) sont des constantes et \(x, y\) sont les inconnues.
2. Méthodes de résolution
Méthode par substitution
- Isoler une inconnue dans l’une des équations.
- Remplacer cette expression dans l’autre équation.
- Résoudre l’équation obtenue.
- Remonter pour trouver la seconde inconnue.
Exemple :
\(\begin{cases} x + y = 5 \ 2x – y = 4 \end{cases}\)
On exprime \(y\) en fonction de \(x\) dans la première équation :
\(y = 5 – x\)
On remplace dans la deuxième équation :
\(2x – (5 – x) = 4\)
\(2x – 5 + x = 4\)
\(3x = 9\)
\(x = 3\)
On trouve \(y\) :
\(y = 5 – 3 = 2\)
Solution : \((3,2)\).
Méthode par combinaison linéaire (réduction)
- Multiplier les équations si nécessaire pour obtenir des coefficients opposés devant une inconnue.
- Additionner ou soustraire les équations.
- Résoudre l’équation obtenue.
- Remonter pour trouver l’autre inconnue.
Exemple :
\(\begin{cases} 3x + 2y = 11 \ 5x – 2y = 9 \end{cases}\)
On additionne les deux équations :
\((3x + 2y) + (5x – 2y) = 11 + 9\)
\(8x = 20\)
\(x = \frac{20}{8} = 2.5\)
On remplace dans la première équation :
\(3(2.5) + 2y = 11\)
\(7.5 + 2y = 11\)
\(2y = 3.5\)
\(y = 1.75\)
Solution : \((2.5, 1.75)\).
3. Cas particuliers
- Système impossible : si l’on obtient une égalité fausse (ex : \(0 = 5\)), il n’existe pas de solution.
- Système indéterminé : si l’on obtient une égalité toujours vraie (ex : \(0 = 0\)), il y a une infinité de solutions.
Conclusion
La résolution d’un système d’équations linéaires repose sur des méthodes analytiques simples comme la substitution et la combinaison linéaire. Il est important de bien choisir la méthode la plus adaptée au problème posé.
Technique appliquée
Exemple : Résolvons le système suivant :
\(\begin{cases} 4x + 3y = 18 \ 2x – y = 1 \end{cases}\)
Utilisons la méthode par substitution :
On exprime \(y\) en fonction de \(x\) à partir de la deuxième équation :
\(y = 2x – 1\)
On remplace dans la première équation :
\(4x + 3(2x – 1) = 18\)
\(4x + 6x – 3 = 18\)
\(10x = 21\)
\(x = 2.1\)
On trouve \(y\) :
\(y = 2(2.1) – 1 = 3.2\)
Solution : \((2.1,3.2)\).