1. Définition d’une fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction mathématique de la forme :
\(f(x) = a x\)
où \(a\) est un nombre réel appelé coefficient de proportionnalité.
Les fonctions linéaires ont la propriété d’être proportionnelles : si \(x_1\) et \(x_2\) sont deux valeurs, alors :
\(\frac{f(x_1)}{x_1} = \frac{f(x_2)}{x_2}\)
2. Représentation graphique d’une fonction linéaire
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.
Construction de la droite
- Choisir deux points :
- Le premier point est toujours l’origine \((0,0)\) car \(f(0) = 0\) pour toute fonction linéaire.
- Un deuxième point est obtenu en calculant \(f(x)\) pour une valeur simple de \(x\) (par exemple \(x = 1\) ou \(x = -1\)).
- Tracer la droite :
- Placer les deux points sur le repère.
- Tracer une droite passant par ces deux points.
Interprétation du coefficient \(a\)
- Si \(a > 0\), la droite est croissante (elle monte vers la droite).
- Si \(a < 0\), la droite est décroissante (elle descend vers la droite).
- Si \(a = 0\), la fonction est constante et sa représentation est une droite horizontale confondue avec l’axe des abscisses.
Conclusion
Représenter une fonction linéaire consiste à tracer une droite passant par l’origine et un second point déterminé par le coefficient \(a\). La pente de la droite est directement liée à la valeur de \(a\), influençant son sens de variation.
Technique appliquée
Exemple : Représenter la fonction linéaire \(f(x) = 2x\).
- Calcul des points :
- Pour \(x = 0\), \(f(0) = 2 \times 0 = 0\) $\Rightarrow$ point \((0,0)\).
- Pour \(x = 1\), \(f(1) = 2 \times 1 = 2\) $\Rightarrow$ point \((1,2)\).
- Tracé :
- Placer les points \((0,0)\) et \((1,2)\) sur un repère.
- Tracer la droite passant par ces deux points.
La droite obtenue est croissante car \(a = 2\) est positif.