1. Définition de la convergence d’une suite
Une suite \((u_n)\) est dite convergente si elle admet une limite finie lorsque \(n\) tend vers l’infini. Cela signifie qu’il existe un réel \(L\) tel que :
En d’autres termes, à mesure que \(n\) augmente, les termes de la suite se rapprochent arbitrairement de \(L\).
2. Critères pour prouver la convergence
Monotonie et encadrement
Si une suite \((u_n)\) est monotone (croissante ou décroissante) et bornée, alors elle est convergente.
- Une suite croissante et majorée est convergente.
- Une suite décroissante et minorée est convergente.
Exemple : La suite définie par \(u_n = 1 – \frac{1}{n}\) est croissante et majorée par 1. Elle converge vers 1.
Définition par une relation de récurrence
Si une suite \((u_n)\) est définie par une relation de récurrence et que l’on peut montrer qu’elle est monotone et bornée, alors elle converge.
Exemple : La suite définie par \(u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{2}\) avec \(u_0 = 1\) est décroissante et minorée, donc convergente.
Théorème des suites adjacentes
Si deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes, c’est-à-dire que :
- \((u_n)\) est croissante,
- \((v_n)\) est décroissante,
- et la différence \(v_n – u_n\) tend vers 0,
alors les deux suites convergent vers la même limite.
Exemple : La méthode de dichotomie utilisée pour approximer des solutions d’équations repose sur ce principe.
Utilisation des limites usuelles
On peut utiliser les propriétés des limites pour démontrer la convergence d’une suite. En particulier :
Exemple : La suite \(u_n = \frac{3n + 1}{2n + 4}\) admet comme limite \(\frac{3}{2}\) car on divise par le terme de plus haut degré.
3. Démarche pour prouver la convergence d’une suite
- Analyser la forme de la suite : Vérifier si elle a une expression explicite ou est définie par récurrence.
- Étudier sa monotonie : Calculer \(u_{n+1} – u_n\) ou étudier son comportement pour voir si elle est croissante ou décroissante.
- Vérifier si elle est bornée : Trouver une majoration ou une minoration.
- Utiliser des limites connues : Appliquer les propriétés des suites usuelles.
- Vérifier si une relation de récurrence permet de prouver sa convergence.
Conclusion
Prouver qu’une suite est convergente repose sur l’analyse de sa monotonie et de son encadrement, l’utilisation de théorèmes spécifiques et des propriétés des limites usuelles.
Technique appliquée
Exemple : Montrons que la suite \(u_n = \frac{n}{n+1}\) est convergente et trouvons sa limite.
- Monotonie : On calcule \(u_{n+1} – u_n\) et on trouve que la suite est croissante.
- Bornitude : On observe que \(u_n < 1\) pour tout \(n\).
- Calcul de la limite : On divise par \(n\) le numérateur et le dénominateur :
- Conclusion : La suite converge vers 1.