1. Définition d’un nombre premier
Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Exemples :
- 2, 3, 5, 7, 11 sont des nombres premiers.
- 4, 6, 9 ne sont pas premiers car ils possèdent d’autres diviseurs.
2. Méthodes pour prouver qu’un nombre est premier
Vérification des diviseurs
Un nombre n est premier si aucun entier strictement compris entre 1 et n ne le divise exactement.
Exemple :
- Vérifions si 17 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 17, donc il est premier.
Test de divisibilité
Pour vérifier si n est premier, on teste sa divisibilité par les nombres premiers inférieurs à \(\sqrt{n}\).
Exemple :
- Vérifions si 29 est premier.
- \(\sqrt{29} \approx 5.39\), donc on teste la divisibilité par 2, 3 et 5.
- 29 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5 $\Rightarrow$ 29 est premier.
3. Cas particuliers
- 2 est le seul nombre premier pair.
- 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur (lui-même).
- Les nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers séparés de 2 (ex. : 11 et 13, 17 et 19).
Conclusion
Prouver qu’un nombre est premier nécessite de tester sa divisibilité par des nombres premiers inférieurs à sa racine carrée. Pour une liste de nombres, des méthodes comme le crible d’Ératosthène sont plus efficaces.
Technique appliquée
Exemple : Déterminons si 37 est un nombre premier.
- \(\sqrt{37} \approx 6.08\) $\Rightarrow$ tester divisibilité par 2, 3 et 5.
- 37 n’est divisible par aucun d’eux $\Rightarrow$ 37 est premier.