1. Problématique
Comment peut-on prouver qu’une propriété est vraie pour une infinité de valeurs entières ? La démonstration par récurrence est une méthode rigoureuse qui permet d’établir une telle vérité de manière progressive.
2. Principe de la récurrence
La démonstration par récurrence repose sur le principe suivant :
Si une propriété est vraie pour un certain entier de départ et que l’on peut montrer qu’elle est héréditaire, alors elle est vraie pour tous les entiers supérieurs.
Elle se déroule en trois étapes fondamentales :
- Initialisation : Vérifier que la propriété est vraie pour un premier entier, souvent \(n = 0\) ou \(n = 1\).
- Hérédité : Supposer que la propriété est vraie pour un certain entier \(n\), et montrer qu’elle est aussi vraie pour \(n+1\).
- Conclusion : Grâce au principe de récurrence, en combinant ces deux étapes, on en déduit que la propriété est vraie pour tout \(n\) à partir de l’entier de départ.
3. Quand et comment l’utiliser ?
Cas d’utilisation
La récurrence est principalement utilisée pour démontrer des propriétés concernant :
- Des suites numériques définies par une relation de récurrence.
- Des égalités ou inégalités portant sur des sommes ou des produits.
- Des propriétés combinatoires ou algébriques sur les entiers naturels.
Méthode d’application
- Identifier la propriété à démontrer, généralement notée \(P(n)\).
- Effectuer l’initialisation en vérifiant que \(P(n_0)\) est vraie pour un premier entier \(n_0\) donné.
- Faire l’hypothèse de récurrence, c’est-à-dire supposer que \(P(n)\) est vraie pour un certain entier \(n\).
- Montrer l’hérédité, c’est-à-dire prouver que cette supposition entraîne la validité de \(P(n+1)\).
- Conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La démonstration par récurrence est une méthode essentielle en mathématiques, permettant de prouver des résultats pour une infinité de valeurs entières de manière rigoureuse. Elle suit une structure claire en trois étapes : initialisation, hérédité et conclusion.
Technique appliquée
Exemple : Montrons que la somme des \(n\) premiers entiers naturels est donnée par la formule :
\(S_n = \frac{n(n+1)}{2}\)
- Initialisation : Pour \(n = 1\),\(S_1 = \frac{1(1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\), ce qui est bien vrai.
- Hérédité : Supposons que la propriété est vraie pour un certain entier \(n\), soit :\(S_n = \frac{n(n+1)}{2}\).Montrons qu’elle est vraie pour \(n+1\) :\(S_{n+1} = S_n + (n+1)\)En utilisant l’hypothèse de récurrence :\(S_{n+1} = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1)\)\(= \frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2}\)\(= \frac{(n+1)(n+2)}{2}\)Ce qui correspond bien à la formule souhaitée pour \(n+1\).
- Conclusion : Par le principe de récurrence, la propriété est donc vraie pour tout \(n \geq 1\).