1. Définition de la dérivée
La dérivée d’une fonction permet de mesurer sa variation en un point. Elle représente la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.
Si \(f\) est une fonction définie sur un intervalle, sa dérivée, notée \(f'(x)\), est obtenue par la limite suivante (quand elle existe) :
\(f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}\)
2. Dérivées usuelles
Les dérivées des fonctions usuelles sont :
- Constante : \((c)’ = 0\)
- Identité : \((x)’ = 1\)
- Puissance : \((x^n)’ = n x^{n-1}\) ( Mnémotechnique, » on met la puissance devant et la puissance baisse de 1 » )
- Exponentielle : \((e^x)’ = e^x\)
- Inverse : \((\frac{1}{x})’= -\frac{1}{x^2}\)
- Racine carrée : \((\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Remarque : La formule sur les Puissance est très pratique car elle permet entre autre de retrouver celle de l’inverse ou de racine carrée.
Il faut noter que \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) , on peut donc utiliser la forme des puissance \((x^n)’ = n x^{n-1}\) et on obtient :
\((\frac{1}{x})’=(x^{-1})’-1x^{-2}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\)
De la même manière, \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), en utilisant la formule \((x^n)’ = n x^{n-1}\) on obtient :
\((\sqrt{x})’=(x^{\frac{1}{2}})’=\frac{1}{2}×x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
3. Règles de dérivation
Pour dériver des combinaisons de fonctions, on utilise :
- Somme/Différence :
\((u + v)’ = u’ + v’\)
\((u – v)’ = u’ – v’\) - Produit :
\((uv)’ = u’v + uv’\) Remarque : étant donné que la dérivée d’une constante \(c\) est 0, on en déduit que \((cv)’=cv’\) - Quotient :
\(\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\), pour \(v \neq 0\) - Composition (règle de la chaîne) :
\((f(g(x)))’ = f'(g(x)) × g'(x)\)
Techniques appliquées :
Exemple 1 : Dérivée d’un polynôme
Dérivons \(f(x) = 3x^3 – 5x + 7\) :
\(f'(x) = 3×3x^{3-1} – 5×1x^{1-1} + 0\)
\(f'(x) = 9x^2 – 5\)
Exemple 2 : Dérivée d’un produit
Soit \(f(x) = (x^2 + 1)(x – 3)\)
On applique la règle du produit :
\(f'(x) = (x^2 + 1)'(x – 3) + (x^2 + 1)(x – 3)’\)
\(= (2x)(x – 3) + (x^2 + 1)(1)\)
\(= 2x(x – 3) + x^2 + 1\)
\(= 2x^2 – 6x + x^2 + 1\)
\(= 3x^2 – 6x + 1\)
Exemple 3 : Dérivée d’un quotient
Soit \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x – 2}\)
On applique la règle du quotient :
\(f'(x) = \frac{(x^2+1)'(x-2) – (x^2+1)(x-2)’}{(x-2)^2}\)
\(= \frac{(2x)(x-2) – (x^2+1)(1)}{(x-2)^2}\)
\(= \frac{2x(x-2) – (x^2+1)}{(x-2)^2}\)
\(= \frac{2x^2 – 4x – x^2 – 1}{(x-2)^2}\)
\(= \frac{x^2 – 4x – 1}{(x-2)^2}\)