1. Définitions des suites arithmétiques et géométriques
Une suite est une liste ordonnée de nombres réels notée \((u_n)\), indexée par un entier naturel \(n\).
- Suite arithmétique : Une suite \((u_n)\) est dite arithmétique s’il existe un réel \(r\), appelé raison, tel que pour tout entier \(n\) :\(u_{n+1} = u_n + r\)
- Suite géométrique : Une suite \((v_n)\) est dite géométrique s’il existe un réel \(q\), appelé raison, tel que pour tout entier \(n\) :\(v_{n+1} = v_n imes q\)
2. Démontrer qu’une suite est arithmétique
Pour montrer qu’une suite \((u_n)\) est arithmétique, on doit vérifier que la différence entre deux termes consécutifs est constante.
Méthode 1 : Par la définition
On calcule \(u_{n+1} – u_n\) et on vérifie que c’est une constante \(r\) :
\(u_{n+1} – u_n = r\)
Si cette relation est vérifiée pour tout \(n\), alors la suite est arithmétique.
Méthode 2 : Par l’expression explicite
Si la suite est définie sous la forme :
\(u_n = u_0 + n imes r\)
alors elle est arithmétique de raison \(r\).
3. Démontrer qu’une suite est géométrique
Pour montrer qu’une suite \((v_n)\) est géométrique, on doit vérifier que le rapport entre deux termes consécutifs est constant.
Méthode 1 : Par la définition
On calcule le rapport \(\frac{v_{n+1}}{v_n}\) et on vérifie qu’il est constant :
\(\frac{v_{n+1}}{v_n} = q\)
Si cette relation est vérifiée pour tout \(n\), alors la suite est géométrique.
Méthode 2 : Par l’expression explicite
Si la suite est définie sous la forme :
\(v_n = v_0 imes q^n\)
alors elle est géométrique de raison \(q\).
Conclusion
Pour montrer qu’une suite est arithmétique, il faut vérifier que la différence entre deux termes consécutifs est constante.
Pour montrer qu’une suite est géométrique, il faut vérifier que le rapport entre deux termes consécutifs est constant.
Technique appliquée
Exemple 1 : Suite arithmétique
On considère la suite définie par : \(u_n = 3n + 2\).
Calculons la différence entre deux termes consécutifs :
\(u_{n+1} – u_n = (3(n+1) + 2) – (3n + 2) = 3\)
La différence est constante, donc la suite est arithmétique de raison \(r = 3\).
Exemple 2 : Suite géométrique
On considère la suite définie par : \(v_n = 2 imes 5^n\).
Calculons le rapport entre deux termes consécutifs :
\(\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2 imes 5^{n+1}}{2 imes 5^n} = 5\)
Le rapport est constant, donc la suite est géométrique de raison \(q = 5\).