1. Définition d’une somme de termes d’une suite
Une suite est une succession ordonnée de nombres réels, souvent notée \((u_n)\).
La somme des premiers termes d’une suite est une expression de la forme :
\(S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n\)
Selon la nature de la suite, il existe différentes méthodes pour calculer cette somme.
2. Somme des termes d’une suite arithmétique
Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante :
\(u_{n+1} = u_n + r\)
où \(r\) est la raison.
La somme des \(n\) premiers termes d’une suite arithmétique est donnée par la formule :
\(S_n = \frac{n}{2} \times (u_1 + u_n)\)
ou encore :
\(S_n = \frac{n}{2} \times (2u_1 + (n-1)r)\)
3. Somme des termes d’une suite géométrique
Une suite est géométrique si chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante appelée raison \(q\) :
\(u_{n+1} = u_n \times q\)
La somme des \(n\) premiers termes d’une suite géométrique est donnée par la formule :
\(S_n = u_1 \times \frac{1 – q^n}{1 – q}\) \quad si \(q \neq 1\)
Lorsque \(q = 1\), la somme devient simplement :
\(S_n = n \times u_1\)
4. Cas particulier de la somme infinie d’une suite géométrique
Si \(|q| < 1\), la somme infinie d’une suite géométrique est :
\(S = \frac{u_1}{1 – q}\)
Cette formule est utilisée en analyse et en probabilités pour calculer des limites de séries infinies.
Conclusion
Le calcul d’une somme de termes d’une suite dépend de la nature de la suite. Pour une suite arithmétique, on utilise une moyenne entre le premier et le dernier terme. Pour une suite géométrique, on applique une formule liée à la raison. Ces formules sont essentielles pour résoudre divers problèmes en mathématiques.
Technique appliquée
Exemple 1 : Somme des termes d’une suite arithmétique
Soit la suite arithmétique de premier terme \(u_1 = 3\) et de raison \(r = 5\). Calculons la somme des 10 premiers termes.
On utilise la formule :
\(S_{10} = \frac{10}{2} \times (2 \times 3 + (10-1) \times 5)\)
\(S_{10} = 5 \times (6 + 45) = 5 \times 51 = 255\)
Exemple 2 : Somme des termes d’une suite géométrique
Soit la suite géométrique de premier terme \(u_1 = 2\) et de raison \(q = 3\). Calculons la somme des 5 premiers termes.
On applique la formule :
\(S_5 = 2 \times \frac{1 – 3^5}{1 – 3}\)
\(S_5 = 2 \times \frac{1 – 243}{-2} = 2 \times 121.5 = 243\)