1. Définition du produit scalaire
Le produit scalaire est une opération qui associe un nombre réel (appelé scalaire) à deux vecteurs d’un espace euclidien.
Définition mathématique :
Si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont deux vecteurs, le produit scalaire est défini par :
\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = | \overrightarrow{u} | \times | \overrightarrow{v} | \times \cos(\theta)\)
où \(\theta\) est l’angle entre les vecteurs.
2. Expression analytique du produit scalaire
Si \(\overrightarrow{u}(x_1, y_1)\) et \(\overrightarrow{v}(x_2, y_2)\) sont des vecteurs du plan, alors :
\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1 \times x_2 + y_1 \times y_2\)
De même, dans l’espace, si \(\overrightarrow{u}(x_1, y_1, z_1)\) et \(\overrightarrow{v}(x_2, y_2, z_2)\) :
\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1 \times x_2 + y_1 \times y_2 + z_1 \times z_2\)
3. Propriétés du produit scalaire
Le produit scalaire possède plusieurs propriétés essentielles :
- Commutativité : \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}\)
- Distributivité : \(\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}\)
- Produit scalaire nul : \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0\) si et seulement si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont orthogonaux.
4. Applications du produit scalaire
Le produit scalaire est utilisé pour :
- Déterminer un angle entre deux vecteurs grâce à la relation \(\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{| \overrightarrow{u} | \times | \overrightarrow{v} |}\)
- Vérifier l’orthogonalité : si \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0\), alors \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont perpendiculaires.
- Résoudre des problèmes géométriques, notamment en projection orthogonale.
Conclusion
Le produit scalaire est un outil fondamental en géométrie et en algèbre, permettant de mesurer l’angle entre deux vecteurs et de vérifier leur orthogonalité.
Technique appliquée
Exemple : Soit \(\overrightarrow{u}(3, 4)\) et \(\overrightarrow{v}(2, -1)\). Calculons leur produit scalaire.
\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3 \times 2 + 4 \times (-1)\)
\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 6 – 4\)
\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2\)
Ainsi, le produit scalaire de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) est \(2\).