1. Définition et conditions d’application
Le théorème de Thalès est un résultat fondamental en géométrie permettant d’établir des proportions entre les longueurs de segments dans un triangle coupé par une droite parallèle à l’un de ses côtés.
Conditions d’application :
- On considère un triangle \(ABC\).
- Une droite (d) est parallèle à l’un des côtés du triangle et coupe les deux autres côtés en deux points distincts.
2. Énoncé du théorème de Thalès
Si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés en deux points distincts, alors elle découpe ces côtés en segments proportionnels.
Formulation mathématique :
Si \((d)\) est parallèle à \(BC\), et coupe \(AB\) en \(M\) et \(AC\) en \(N\), alors :
\(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\)
3. Applications du théorème de Thalès
Le théorème de Thalès est utilisé pour :
- Calculer des longueurs inconnues dans une figure.
- Montrer qu’une droite est parallèle à une autre en utilisant la réciproque du théorème.
- Vérifier des rapports de proportionnalité dans un triangle ou une figure géométrique.
4. Exemple d’application
Soit un triangle \(ABC\) avec \(AB = 8\) cm, \(AC = 10\) cm, \(AM = 4\) cm et une droite parallèle à \(BC\) passant par \(M\) et coupant \(AC\) en \(N\).
On cherche la longueur \(AN\).
En appliquant le théorème de Thalès :
\(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\)
\(\frac{4}{8} = \frac{AN}{10}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{AN}{10}\)
\(AN = 5\) cm
Conclusion
Le théorème de Thalès est un outil essentiel en géométrie permettant de déterminer des longueurs et de prouver le parallélisme de droites. Sa bonne maîtrise facilite la résolution de nombreux problèmes géométriques.
Technique appliquée
Exemple : Soit un triangle \(ABC\) avec \(AB = 12\) cm, \(AC = 18\) cm et une droite parallèle à \(BC\) qui coupe \(AB\) en \(M\) et \(AC\) en \(N\). On sait que \(AM = 6\) cm. Calculer \(AN\).
En appliquant Thalès :
\(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\)
\(\frac{6}{12} = \frac{AN}{18}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{AN}{18}\)
\(AN = 9\) cm