1. Définition de la loi binomiale
La loi binomiale est une loi de probabilité discrète qui modélise le nombre de succès dans une série d’épreuves indépendantes identiques, où chaque épreuve a deux issues possibles : succès ou échec.
Une variable aléatoire suit une loi binomiale si :
- il y a un nombre fixe d’épreuves \(n\),
- chaque épreuve est indépendante,
- la probabilité de succès \(p\) est constante à chaque épreuve.
Si \(X\) représente le nombre de succès dans \(n\) épreuves, on note :
\(X \sim \mathcal{B}(n, p)\)
Sa loi de probabilité est donnée par :
\(P(X = k) = inom{n}{k} p^k (1 – p)^{n-k}\)
avec \(inom{n}{k} = rac{n!}{k!(n-k)!}\), qui représente le nombre de façons de choisir \(k\) succès parmi \(n\) épreuves.
2. Espérance et variance de la loi binomiale
L’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale sont données par :
- Espérance : \(E(X) = n imes p\)
- Variance : \(V(X) = n imes p imes (1 – p)\)
- Écart-type : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{n imes p imes (1 – p)}\)
Ces formules permettent d’estimer la valeur moyenne des succès attendus et leur dispersion autour de cette moyenne.
3. Applications de la loi binomiale
Probabilités associées à une loi binomiale
On peut calculer différentes probabilités :
- Probabilité exacte : \(P(X = k)\) en utilisant la formule de la loi binomiale.
- Probabilité cumulée : \(P(X \leq k)\) ou \(P(X \geq k)\) en sommant les probabilités individuelles.
- Approximation par la loi normale : Si \(n\) est grand et que \(p\) n’est pas trop proche de 0 ou 1, on peut approximer la loi binomiale par une loi normale \(\mathcal{N}(np, np(1 – p))\).
Exemples d’utilisation
La loi binomiale est utilisée dans plusieurs domaines :
- Contrôle qualité : déterminer la probabilité qu’un lot contienne un certain nombre de produits défectueux.
- Médecine : modéliser le succès d’un traitement sur un échantillon de patients.
- Jeux de hasard : calculer les chances d’obtenir un certain nombre de succès dans un jeu basé sur des essais répétés.
Conclusion
La loi binomiale est un outil fondamental en probabilité, permettant d’analyser des expériences répétées indépendantes. Elle est essentielle dans de nombreux domaines, allant des statistiques aux sciences appliquées.
Technique appliquée
Exemple : Un joueur tire 10 fois à un jeu où il a une probabilité de 0,3 de gagner à chaque tir. Quelle est la probabilité qu’il gagne exactement 4 fois ?
On a :
- \(n = 10\), \(p = 0,3\)
- On cherche \(P(X = 4)\) où \(X \sim \mathcal{B}(10, 0,3)\)
\(P(X = 4) = inom{10}{4} (0,3)^4 (0,7)^6\)
\(= rac{10!}{4!(6!)} imes 0,0081 imes 0,1176\)
\(= 210 imes 0,0081 imes 0,1176 \approx 0,2001\)
Ainsi, la probabilité que le joueur gagne exactement 4 fois est d’environ 0,20 (20%).