1. Définition d’une primitive
Soit une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\). On appelle primitive de \(f\) toute fonction \(F\) définie sur \(I\) telle que :
\(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in I\).
Ainsi, une primitive est une fonction dont la dérivée est égale à la fonction donnée.
Exemple : \(F(x) = \frac{x^3}{3}\) est une primitive de \(f(x) = x^2\), car \(F'(x) = x^2\).
2. Propriétés fondamentales
- L’ensemble des primitives d’une fonction : Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\), alors toutes les primitives de \(f\) sont de la forme \(F(x) + C\), où \(C\) est une constante réelle.
- Linéarité : Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions admettant des primitives et \(a, b \in \mathbb{R}\), alors :\(\int (a f + b g) dx = a \int f dx + b \int g dx\)
3. Techniques de recherche d’une primitive
Primitives usuelles
Voici quelques primitives courantes :
- \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), pour \(n \neq -1\)
- \(\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C\)
- \(\int e^x dx = e^x + C\)
- \(\int \cos x dx = \sin x + C\)
- \(\int \sin x dx = -\cos x + C\)
Recherche par identification
Pour certaines fonctions, on peut essayer de deviner une primitive en cherchant une fonction dont la dérivée correspond à \(f(x)\).
Exemple : Cherchons une primitive de \(f(x) = 3x^2\).
On sait que la dérivée de \(x^3\) est \(3x^2\), donc une primitive est \(F(x) = x^3\).
Intégration par substitution
On utilise le changement de variable \(u = g(x)\) pour simplifier certaines intégrales.
Exemple : Cherchons une primitive de \(f(x) = x e^{x^2}\).
Posons \(u = x^2\) donc \(du = 2x dx\). On a alors :
\(\int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C\).
Intégration par parties
Si \(f(x)\) est un produit de deux fonctions, on utilise la formule :
\(\int u v’ dx = u v – \int u’ v dx\)
Exemple : Cherchons une primitive de \(x e^x\).
Posons \(u = x\) et \(v’ = e^x\), donc \(u’ = 1\) et \(v = e^x\).
D’après la formule d’intégration par parties :
\(\int x e^x dx = x e^x – \int e^x dx = x e^x – e^x + C\).
Conclusion
Déterminer une primitive d’une fonction nécessite de connaître les primitives usuelles et de maîtriser certaines techniques comme l’identification, le changement de variable ou l’intégration par parties.
Technique appliquée
Exemple : Trouver une primitive de \(f(x) = \frac{1}{1 + x^2}\).
On reconnaît que \(\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}\), donc une primitive est :
\(F(x) = \arctan x + C\).
Ainsi, pour calculer une primitive, on peut s’appuyer sur les dérivées connues et des méthodes adaptées à chaque type de fonction.