1. Définition d’une inéquation
Une inéquation est une inégalité mathématique contenant une variable et pouvant être vérifiée pour certains ensembles de valeurs de cette variable. Les symboles d’inégalité utilisés sont :
- \(<\) (inférieur à)
- \(\leq\) (inférieur ou égal à)
- \(>\) (supérieur à)
- \(\geq\) (supérieur ou égal à)
Exemple : \(2x – 5 > 3\) est une inéquation en \(x\).
2. Résolution d’une inéquation
La résolution d’une inéquation consiste à trouver l’ensemble des valeurs de la variable qui satisfont l’inégalité.
Règles de manipulation
- Addition et soustraction : On peut ajouter ou soustraire un même nombre des deux côtés de l’inéquation sans en changer le sens.
- Exemple : \(x + 3 > 7\) donne \(x > 4\).
- Multiplication et division :
- Si on multiplie ou divise par un nombre positif, le sens de l’inégalité ne change pas.
- Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l’inégalité.
- Exemple : \(-2x \leq 8\) devient \(x \geq -4\) en divisant par \(-2\) et en inversant l’inégalité.
Exemple :
- \(3x – 4 < 5\)
- On ajoute 4 : \(3x < 9\)
- On divise par 3 : \(x < 3\)
- \(-5x + 2 \geq 7\)
- On soustrait 2 : \(-5x \geq 5\)
- On divise par \(-5\) et on inverse l’inégalité : \(x \leq -1\)
3. Représentation sur une droite graduée
Pour représenter l’ensemble des solutions d’une inéquation sur une droite graduée :
- Un cercle ouvert est utilisé pour les inéquations strictes (\(<\) ou \(>\)).
- Un cercle fermé est utilisé pour les inéquations larges (\(\leq\) ou \(\geq\)).
- La solution est représentée par un segment ou une demi-droite.
Exemple : Pour \(x < 3\), on place un cercle ouvert en \(3\) et on colorie vers la gauche.
4. Système d’inéquations
Un système d’inéquations est un ensemble de plusieurs inéquations que l’on doit résoudre simultanément.
Exemple :
\(\begin{cases} 2x – 3 > 1 \ x + 4 \leq 6 \end{cases}\)
Résolution :
- \(2x > 4 \Rightarrow x > 2\)
- \(x \leq 2\)
Les solutions communes sont \(x = 2\), donc l’ensemble solution est \({2}\).
Conclusion
La résolution d’une inéquation repose sur des manipulations algébriques en respectant les règles des inégalités. L’ensemble solution peut être représenté sur une droite graduée ou sous forme d’intervalles.
Technique appliquée
Exemple : Résoudre et représenter sur une droite graduée : \(\frac{x – 2}{3} \geq 1\).
- Multiplier par 3 : \(x – 2 \geq 3\).
- Ajouter 2 : \(x \geq 5\).
- La solution est l’intervalle \([5 ; +\infty[\).
- Sur une droite graduée : Cercle fermé en \(5\) et flèche vers la droite.