1. Les trois identités remarquables
Les identités remarquables sont des égalités qui permettent de développer ou de factoriser rapidement certaines expressions.
Elles sont au nombre de trois :
- Le carré d’une somme :
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - Le carré d’une différence :
\((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) - La différence de deux carrés :
\(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\)
Si vous oubliez une des formules, vous pouvez toujours développer le produit en somme en utilisant la double distributivité pour retrouver la formule. Exemple : \((a + b)^2=(a + b)×(a + b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a^2+a×b+b×a+b^2=a^2 + 2ab + b^2\)
2. Utilisation pour le développement
On utilise les identités remarquables pour développer plus rapidement certaines expressions.
Exemple 1 : Développer \((x + 3)^2\)
- En appliquant la première identité :
\((x + 3)^2 = x^2 + 2×x×3 + 3^2\)
\(= x^2 + 6x + 9\)
Exemple 2 : Développer \((2x – 5)^2\)
- En appliquant la deuxième identité :
\((2x – 5)^2 = (2x)^2 – 2×2x×5 + 5^2\)
\(= 4x^2 – 20x + 25\)
Exemple 3 : Développer \((x – 7)(x + 7)\)
- En appliquant la troisième identité :
\(x^2 – 7^2 = x^2 – 49\)
3. Utilisation pour la factorisation
On peut aussi utiliser ces identités pour factoriser une expression sous forme de produit.
Exemple 1 : Factoriser \(x^2 + 8x + 16\)
- On reconnaît que \(x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2\) d’après la première identité remarquable car \(4^2=16\) et \(4×x×2=8x\)
Exemple 2 : Factoriser \(9x^2 – 25\)
- On reconnaît \(9x^2 – 25 = (3x)^2 – 5^2\)
- En appliquant la troisième identité :
\(9x^2 – 25 = (3x – 5)(3x + 5)\)
Conclusion
Les identités remarquables sont des formules qui peuvent nous permettre :
- de développer plus rapidement une expression
- de factoriser une expression en reconnaissant la forme développée d’une des identités
Technique appliquée
Résoudre \(x^2 – 49 = 0\)
Factorisation : \((x – 7)(x + 7) = 0\) car on reconnait la formule \(a^2 – b^2\) avec \(a=x\) et \(b=7\)
Un produit est nul si l’un des facteurs est nul, donc :
\(x – 7 = 0\) ou \(x + 7 = 0\)
\(x = 7\) ou \(x = -7\)