Une fraction est dite simplifiée lorsqu’il n’existe pas de nombre entier autre que 1 qui divise à la fois son numérateur et son dénominateur.
1. Principe de la simplification
Simplifier une fraction consiste à diviser son numérateur et son dénominateur par un même nombre (appelé un diviseur commun) afin d’obtenir une fraction équivalente plus simple.
Exemple :
\(\frac{12}{18}\) peut être simplifiée car 12 et 18 ont un diviseur commun.
On peut diviser ces deux nombres par 6 :
\(\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}\)
La fraction \(\frac{2}{3}\) est irréductible, car 2 et 3 n’ont pas de diviseur commun autre que 1.
2. Trouver le PGCD pour simplifier une fraction
Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) est le plus grand nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur.
Méthode pour trouver le PGCD
- Lister les diviseurs des deux nombres.
- Identifier le plus grand diviseur commun.
- Diviser le numérateur et le dénominateur par ce PGCD.
Exemple : Simplifions \(\frac{42}{56}\)
Étape 1 : Trouver les diviseurs
- Diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
- Diviseurs de 56 : 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56
Le plus grand diviseur commun est 14.
Étape 2 : Diviser par 14
\(\frac{42}{56} = \frac{42 \div 14}{56 \div 14} = \frac{3}{4}\)
La fraction \(\frac{3}{4}\) est irréductible.
3. Cas particulier : simplification progressive
Si on ne trouve pas directement le PGCD, on peut simplifier la fraction étape par étape, en divisant par des diviseurs plus petits successivement.
Exemple : Simplifions \(\frac{24}{36}\) progressivement.
- Divisons par 2 :
\(\frac{24}{36} = \frac{12}{18}\) - Divisons encore par 2 :
\(\frac{12}{18} = \frac{6}{9}\) - Divisons enfin par 3 :
\(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)
On retrouve bien \(\frac{2}{3}\), qui est irréductible.
4. Vérifier si une fraction est irréductible
Une fraction \(\frac{a}{b}\) est irréductible si le PGCD de \(a\) et \(b\) est 1.
Exemples :
- \(\frac{5}{7}\) est irréductible car PGCD(5,7) = 1
- \(\frac{6}{9}\) n’est pas irréductible car PGCD(6,9) = 3
Conclusion
- Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD.
- Si on ne trouve pas le PGCD immédiatement, on peut simplifier progressivement en divisant par des petits diviseurs successifs.
- Une fraction est irréductible si le PGCD du numérateur et du dénominateur est 1.
Techniques appliquées :
Exemple 1 : simplifier \(\frac{48}{64}\)
- PGCD(48, 64) = 16
- Division par 16 :
\(\frac{48}{64} = \frac{48 \div 16}{64 \div 16} = \frac{3}{4}\)
Exemple 2 : simplifier \(\frac{27}{45}\) progressivement
- Division par 3 :
\(\frac{27}{45} = \frac{9}{15}\) - Division par 3 :
\(\frac{9}{15} = \frac{3}{5}\)
on a donc \(\frac{48}{64}= \frac{3}{5}\)